Родился 18 января 1974 года (отец - военный, служил в радиоразведке, мать - учитель биологии и химии).
В 1997 году окончил Ульяновский филиал Московского государственного университета (ныне – УлГУ) по специальности «лечебное дело», второе высшее образование получил по специальности «юриспруденция» («Я поступал в Самарский медуниверситет, так получилось, что не прошел. Сочинение сдал на трояк, не добрал по баллам. Тема сочинения была что-то о народниках. Было большое сочинение, листов на семь, а в нем обилие ошибок. Не склонен я с детства к такой грамотности, в отличие от отца, который сегодня не сможет сформулировать ни одно правило, но практически не ошибается, пишет абсолютно грамотно. Потом поступил в медицинское училище, в этот же год, на Песках. Тогда рассадник такой бандитского движения. Особо не ориентировался, какие там были группировки. По обстановке, по самому маршруту, по которому приходилось ежедневно туда ходить, чувствовал влияние «лихих 90-х», - делился Куринный воспоминаниями с нашим порталом»).
На 4-м курсе студент Алексей Куринный подрабатывал сторожем в поликлинике №4, на 5-6-м - начальником охраны в заведении «Сэв клуб» («Драться приходилось, и не один десяток раз. В то время немного занимался рукопашным боем… После двух лет работы в клубе до сих пор не переношу громкой музыки и пьяных разухабистых компаний»).
С 1997 по 2010 год работал врачом-хирургом поликлинического отделения Ульяновской городской больницы № 2, больницы скорой медицинской помощи г. Ульяновска, преподавал на кафедре госпитальной хирургии медицинского факультета Ульяновского государственного университета.
С 2010 по 2013 год — главный врач Ульяновского областного клинического центра специализированных видов медицинской помощи (бывшая БСМП).
В 2004 году Куринный был избран депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области третьего созыва (тогда же вступил в партию «Единая Россия», но вышел из нее год спустя).
В марте 2008 года был избран депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области четвёртого созыва, входил в состав комитета по государственному и муниципальному строительству и делам молодежи.
8 сентября 2013 года избран депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области пятого созыва по Ленинскому одномандатному избирательному округу № 14 (на выборах возглавлял блок КПРФ), вошел в состав комитета по социальной политике.
В декабре 2013-го депутату Алексею Куринному вынесли порицание - за его некорректное поведение в конфликте с руководителем аппарата ЗСО Еленой Долговой.
29 ноября 2014 года Алексей Куринный был избран председателем ульяновского областного отделения КПРФ.
В сентябре 2016 года избран депутатом Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации седьмого созыва по одномандатному избирательному округу № 187 от Ульяновской области (тогда же участвовал в выборах на должность губернатора Ульяновской области, проиграл действующему главе региона Сергею Морозову); в Госдуме – член фракции КПРФ.
19 сентября 2021 года был избран депутатом Госдумы восьмого созыва в составе федерального списка кандидатов, выдвинутых от КПРФ. Заместитель председателя Комитета Госдумы по охране здоровья.
Кандидат медицинских наук.
Женат, воспитывает четверых детей.
На президентских выборах в марте 2018 года Алексей Куринный отдал свой голос за кандидата от КПРФ (но, однако, не члена партии) Павла Грудинина. Во время голосования Куринного уличили в нарушении.
В мае 2018 года Куринный оказался в центре скандала, связанного с переименованием площади Ленина в Ульяновске в площадь Соборную.
В сентябре 2018 года Куринный встал на защиту уволенного директора ульяновской средней школы №72 Людмилы Шишкиной.
22 февраля 2022 года в ЦГБ скончался отец Алексея Куринного, полковник Владимир Куринный.
Был в партийном списке КПРФ на выборах в депутаты Законодательного Собрания Ульяновской области седьмого созыва. Уступил свой мандат Рамилю Хакимову.
"Куринный - это не от кур (смеется). Куринный - это казацкий вариант фамилии Куренной, произошедшей от наименования командира отдельного подразделения казачьего войска. На ненамеренные ошибки в ударении я давно не обижаюсь. Некоторые искажают фамилию специально, стремясь таким образом обидеть или оскорбить, но будучи достаточно опытным политиком, я на такие выпады давно не реагирую, просто стараюсь корректно поправить оппонента".
