Родился 3 сентября 1952 года в селе Верхняя Дубрава Николо-Черемшанского района Ульяновской области.

Выпускник средней школы №3 города Ульяновска. В 1971 году окончил Ульяновский автомеханический техникум. С 1971 по 1973 проходил военную службу в Советской Армии. В 1990 году окончил Ульяновский филиал Куйбышевского планового института. Имеет ученую степень — кандидат экономических наук.

Прошел путь от контролера до директора по производству крупного промышленного предприятия ОАО «Ульяновский автомобильный завод».

В 2005 году был назначен на должность заместителя главы администрации Ульяновской области, а затем заместителя председателя правительства Ульяновской области.

В 2008 году назначен первым заместителем председателя правительства Ульяновской области.

14 марта 2010 избран на пост главы Ульяновска, 22 марта 2010 вступил в должность (в качестве своего преемника Пинкова тогда поддержал экс-мэр Ульяновска Сергей Ермаков). 7 декабря 2011 года Александр Пинков подал в отставку с поста мэра после провала «Единой России» на выборах депутатов Государственной Думы РФ в городе. Морозов отставку Пинкова принял и предложил ему вновь поработать в правительстве региона; 12 декабря 2011 года Александр Пинков был назначен первым заместителем председателя правительства Ульяновской области.

13 января 2015 года Приказом Министерства образования и науки РФ Александр Пинков был назначен на должность исполняющего обязанности ректора УлГТУ.

Награждён орденом «Почёта», орденом «Дружбы», присвоены звания «Почетный машиностроитель», «Ветеран труда УАЗа» и «Ветеран труда Министерства автомобильной промышленности».

Женат, две дочери, внуки.

В 2010 году Александр Пинков судился с газетой «Дыхание земли».

В апреле 2011 года Пинков объявил в Ульяновске месячник борьбы с алкоголизмом (в ответ на это врач-нарколог Дмитрий Долматов сказал, что подобные «месячники» совершенно бесполезны).

Поддержал решение Гордумы ликвидировать трамвайное движение по улицам Ленина, Советская, Радищева, однако губернатор Сергей Морозов запретил демонтировать рельсы.

В июне 2012 года Пинков попал в поле зрения прокуратуры (речь шла о хищениях бюджетных средств при исполнении контракта на обслуживание городских дорог).