Родился 21 сентября 1955 года в поселке Сокский Исаклинского района Куйбышевской области (ныне – Самарской) в многодетной семье. Поскольку родители большое количество времени отдавали работе, основные обязанности по дому и воспитание младших сестренок и братьев ложились на старшего ребенка – Анатолия Александровича.

С 1974 по 1976 годы проходил службу в Вооружённых Силах СССР: являлся курсантом Донецкого высшего военно-политического училища инженерных войск и войск связи имени генерала армии А. А. Епишева.

В 1983 году окончил Куйбышевский авиационный институт имени С.П. Королёва по специальности «инженер-механик» (во время обучения был командиром факультетской дружины и активным членом стройотряда).

С 1983 по 1987 работал на Ульяновском авиационном промышленном комплексе мастером производственного участка. С 1987 по 2000 - председатель профсоюзного комитета ОАО «Авиастар». С 2000 по 2001 заместитель директора по финансам ОАО «Авиастар».

С 2001 по 2005 работал в администрации Ульяновска: глава администрации Заволжского района, первый заместитель мэра, руководитель аппарата. Затем возглавлял систему социальной защиты населения Ульяновской области. С 16 февраля 2009-го по 26 ноября 2013 года состоял в должности министра труда и социального развития. После реорганизации ведомства до 28 февраля 2014 года был заместителем министра здравоохранения, социального развития и спорта – директором департамента социальной сплоченности и социальной поддержки населения.

С 4 марта 2015 года является председателем ОС «Федерация профсоюзов Ульяновской области».

 С 13 сентября 2015 года до 13 сентября 2020 года являлся депутатом Городской Думы V созыва. Первый заместитель главы Ульяновска.

Советник губернатора Ульяновской области (с 2014 года).

Женат, имеет дочь, двух внучек. Жена - преподаватель иностранного языка, работала в службе социальной защиты Железнодорожного района.

Анатолий Васильев обожает технику («Я рано права получил, трактор водил, танк. Служил инструктором по вождению в Донецком высшем военно-техническом училище. Первая машина появилась летом 1990 года по печальному поводу. Отец умер, оставил свою «копейку» в наследство. Она долго служила мне исправно»).

«В 16 лет за 73 рубля купил позолоченные часы «Восток» и долго их носил. Мы поехали с отцом в Тольятти, там их приобрели. Был горд и радовался такой покупке — ведь сам заработал на нее. Несмотря на то, что семья не бедствовала — отец был управляющим центральным отделением крупного совхоза «Рассвет» в Куйбышевской области, — все дети, а нас было четверо, работали каждое лето лет с четырнадцати», - вспоминал Васильев в одном из интервью.