Родился 9 апреля 1973 года в с.Мостовая Ульяновского района Ульяновской области.
Окончил Ульяновский государственный педагогический институт им. И.Н. Ульянова (ныне – университет), Ульяновский государственный университет, Академию народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации по программе MBA.
С 1999 по 2002 гг. — директор ООО «Петрокар», затем — заместитель директора ООО «АлСим», заместитель генерального директора по стратегии и развитию, исполнительный директор ОАО «Автодеталь-Сервис». С 2003 по 2009 гг. — вице-президент и совладелец ЗАО «Холдинговая компания «АМС-ГРУПП» (крупнейшая управляющая компания Ульяновской области, в сферу деятельности которой входят производство, торговля услуги; штат составлял 7 000 человек; ликвидирована).
С 2005 года возглавлял ульяновское региональное отделение «Российского союза промышленников и предпринимателей» в ранге вице-президента.
Был депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области четвертого созыва, избран по списку «Единой России» (член комитета по промышленноcти, строительству, транспорту, связи, жилищно-коммунальному хозяйству и топливно-энергетическому комплексу). Депутатские полномочия Елюкина были прекращены 25 марта 2010 года - по личному заявлению в связи с переходом на муниципальную службу (стал заместителем тогдашнего мэра Ульяновска Александра Пинкова, курировал комитеты архитектуры и градостроительства, дорожного хозяйства, благоустройства и транспорта, и ЖКХ). С поста вице-мэра Елюкин ушел в декабре 2011 года.
В 2012 году крупнейший российский ритейлер Х5 Retail Group приобрел сеть ульяновских магазинов «Провиант», владельцем которой был Александр Елюкин (речь шла о десяти супермаркетах).
Один из учредителей промышленно-торговой швейной фирмы «Элегант» (по данным сайта Rusprofile.ru, ИП Елюкин Александр Егорович зарегистрирован 1 апреля 2014 г. регистратором Инспекция Федеральной налоговой службы по Ленинскому району г.Ульяновска; основным видом деятельности является «Торговля розничная одеждой в специализированных магазинах»), а также медицинской компании «Академия МРТ».
Президент общественной организации «Региональная спортивная федерация биатлона Ульяновской области».
Александр Елюкин – о кризисе:
«Сейчас мы находимся в кризисе. Ничего не меняется. Выживаем - я бы назвал это так. Как можем, сводим концы с концами. Что касается нашего производства («Элегант» - ред), то заказов нет. Розничный и оптовый рынок встал. Поэтому и заработную плату сотрудникам повысить пока не можем» (комментарий 2016 года).
«Если говорить о личных сбережениях, то я бы советовал все же хранить средства в банках. Тем более сейчас вкладчикам предлагают очень выгодные условия, ставка на депозит 18-19%. Это хоть немного компенсирует инфляцию» (комментарий от 5 марта 2022 года).
