Родился 5 февраля 1975 года в азербайджанском городе Кировабаде (ныне - Гянджа).
В 1996 году окончил Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище, в 2003-м - Российскую правовую академию по специальности «Юриспруденция».
С 1996 по 1998 годы – командир взвода, заместитель командира роты Ульяновской 104 гвардейской воздушно-десантной дивизии (ныне - 31-я отдельная гвардейская десантно-штурмовая бригада); инструктор-парашютист, водитель боевых машин.
В 1998-2002 годах - оперуполномоченный по особо важным делам отдела собственной безопасности по борьбе с коррупцией таможни Приволжского Федерального округа. С 2003 года работал директором предприятия «Симбирск Вторметалл», заместителем директора по развитию регионов ООО «Балтийская строительная компания - 55».
С 2012 года - коммерческий директор ООО «Симбирск ЭкоПласт».
Был депутатом Городской Думы города Димитровграда Ульяновской области первого созыва (2008 - 2013 годы). 3 октября 2016 года на внеочередном заседании думы Димитровграда депутатский корпус избрал Алексея Кошаева новым главой города Димитровграда, вместо ушедшего с этой должности Николая Горшенина.
После парламентских выборов 9 сентября 2018 года в Димитровграде, когда коммунисты нанесли сокрушительное поражение партии «Единая Россия» и команде мэра Алексея Кошаева, тот не стал покидать кресло градоначальника.
3 октября 2018 года на первом заседании городской думы третьего созыва теперь уже бывший глава Димитровграда Алексей Кошаев официально заявил о том, что приостанавливает свою деятельность в качестве члена партии «Единая Россия».
10 октября 2018 года Алексей Кошаев в социальных сетях сообщил, что берет на себя исполнение обязанностей градоначальника (фактически, назначил сам себя), в то время как Городская дума Димитровграда с фактическим самоназначением Кошаева не согласилась и большинством голосов наделила полномочиями и.о. главы города Алексея Гадальшина.
Алексей Кошаев - кандидат в мастера спорта по греко-римской борьбе и самбо.
Награждён медалями общественных организаций «Боевой братство» и «Союз десантников России».
Женат, воспитывает дочь. «С Инной мы вступили в законный брак в июне 1997 года. Я был лейтенантом, командиром батальонного разведывательного взвода 337-го парашютно-десантного полка 104-й дивизии ВДВ. На свадьбу мне дали три дня отпуска. Расписывались в одном из ЗАГСов Ульяновска. На свадьбе был в кителе своего друга Романа Игошина, погибшего потом в Чечне и ставшего Героем России. А свою форму я тогда отдал командиру батальона, поехавшему поступать в академию», - рассказывал Алексей Кошаев в интервью нашему порталу.
В декабре 2016 года Алексей Кошаев направил письменные обращения в городскую и природоохранную прокуратуры, чтобы разобраться в вопросе по вырубке леса на Лесной Горке в Димитровграде.
В январе 2017 года Кошаев поднимает стоимость проезда в общественном транспорте Димитровграда. В феврале того же года выступил с заявлением о поднятии на 150 процентов тарифов на воду.
В июне 2017 года, после отставки сити-менеджера Вячеслава Гнутова, Алексей Кошаев заявил, что готов взять на себя полную ответственность за руководство муниципалитетом и ситуацию в нем.
23 октября 2018 года Алексей Кошаев написал заявление об увольнении, а с 24 октября распоряжением Администрации Димитровграда был уволен по собственному желанию и перешел на общественную работу.
С 2019 по 2022 год был Федеральным инспектором по Ярославской области Администрации Президента по Центральному федеральному округу.
В январе 2022 года был в числе претендентов на кресло главы Димитровграда.
В марте 2022 года предложил разорвать отношения с болгарским городом-побратимом Димитровградом.
1 сентября 2022 года трудоустроился помощником вице-губернатора по внутренней политике Александра Коробко. В пул обязанностей Кошаева входила организация взаимодействия между патриотическими структурами, органами местного самоуправления и военкоматами, а также помощь в комплектации добровольческих батальонов, которые отправляются для участия в СВО.
В сентябре 2022 года ему поступило предложение вступить в борьбу за мандат депутата ЗСО. Под свое крыло политика взяла «Единая Россия».
В конце сентября 2022 года принял решение уйти добровольцем в зону СВО. Участник боевых действий в составе 98-й Воздушно-десантной дивизии.
10 сентября 2023 года избран депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области седьмого созыва по Димитровградскому одномандатному избирательному округу № 9 (выдвинут партией «Единая Россия». Набрал 52,20% или 8423 голоса. В 2025 году возглавил комитет по государственному строительству, местному самоуправлению и развитию гражданского общества, а также поддержке ветеранов боевых действий и членов их семей Законодательного Собрания Ульяновской области седьмого созыва.
Награжден орденом Мужества, медалями общественных организаций «Боевое братство» и «Союз десантников России».
Кандидат в мастера спорта по греко-римской борьбе и самбо. Двоюродный брат известного бойца ММА Владимира Минеева.
Женат, воспитывает дочь.
