Родился: 24 сентября 1973 года в Ульяновске.
В 1996 году окончил Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (филиал в городе Ульяновске) по специальности «Юриспруденция», имеет квалификацию – юрист.
Трудовую деятельность Алексей Гаев начал в 1990 году в Научно-исследовательском институте атомных реакторов имени учеником токаря.
С 1992 по 1997 год работал юристом в двух организациях. В 1997-2001 годах – генеральным директором ЗАО строительно-финансовой компании «Берег». С мая 2001 года по апрель 2015 года работал заместителем генерального директора в ОАО «Завод крупнопанельного домостроения № 2», затем в ООО «Управляющая компания КПД-2».
С апреля 2015 года занимал должность первого заместителя главы администрации Ульяновска, с сентября – исполняющего обязанности главы администрации города. 17 ноября был официально назначен главой администрации Ульяновска.
В ноябре 2015 года Алексей Гаев обратился к мэру Сергею Панчину с просьбой выставить старейший кинотеатр Ульяновска «Художественный» на торги, аргументируя тем, что в бюджете нет денег на его ремонт.
В декабре 2015 года сити-менеджер Алексей Гаев занял 50-е место во всероссийском рейтинге мэров, а в 2017-м - 40-е.
В октябре 2016 года Гаев выступил против геев, запретив шествие сексуальных меньшинств, которое инициировал московский лидер ЛГБТ-сообщества Николай Алексеев. В официальном ответе Гаева на запрос содержалась такая формулировка причины запрета гей-парада в Ульяновске: «Избранная форма мероприятия предполагает перекрытие проезжей части, что подразумевает большое привлечение внимания общественности, в том числе и несовершеннолетних».
26 января 2017 года Алексей Гаев вступил в партию «Единая Россия».
В ноябре 2017 года областная прокуратура привлекла Алексея Гаева к административной ответственности (по мнению надзорного органа, он способствовал нарушению прав жилищных дольщиков).
12 апреля 2018 Алексей Гаев был уволен по собственному желанию с должности сити-менеджера (к исполнению обязанностей приступил Вадим Андреев).
В июне 2021 года был назначен первым вице-мэром главы Ульяновска по жизнеобеспечению. 28 февраля 2022 года покинул этот пост.
1 марта 2022 года назначен директором МАУ «Агентство городских инициатив». Повесил на улице Федерации Луну.
9 января 2024 года уволился с должности директора «Агентства городских инициатив». По неподтверженной информации, он занялся строительной отраслью в компании DARS.
Официально не женат, детей нет.
