Родился 5 февраля 1975 года в азербайджанском городе Кировабаде (ныне - Гянджа).
В 1996 году окончил Рязанское высшее воздушно-десантное командное училище, в 2003-м - Российскую правовую академию по специальности «Юриспруденция».
С 1996 по 1998 годы – командир взвода, заместитель командира роты Ульяновской 104 гвардейской воздушно-десантной дивизии (ныне - 31-я отдельная гвардейская десантно-штурмовая бригада); инструктор-парашютист, водитель боевых машин.
В 1998-2002 годах - оперуполномоченный по особо важным делам отдела собственной безопасности по борьбе с коррупцией таможни Приволжского Федерального округа. С 2003 года работал директором предприятия «Симбирск Вторметалл», заместителем директора по развитию регионов ООО «Балтийская строительная компания - 55».
С 2012 года - коммерческий директор ООО «Симбирск ЭкоПласт».
Был депутатом Городской Думы города Димитровграда Ульяновской области первого созыва (2008 - 2013 годы). 3 октября 2016 года на внеочередном заседании думы Димитровграда депутатский корпус избрал Алексея Кошаева новым главой города Димитровграда, вместо ушедшего с этой должности Николая Горшенина.
После парламентских выборов 9 сентября 2018 года в Димитровграде, когда коммунисты нанесли сокрушительное поражение партии «Единая Россия» и команде мэра Алексея Кошаева, тот не стал покидать кресло градоначальника.
3 октября 2018 года на первом заседании городской думы третьего созыва теперь уже бывший глава Димитровграда Алексей Кошаев официально заявил о том, что приостанавливает свою деятельность в качестве члена партии «Единая Россия».
10 октября 2018 года Алексей Кошаев в социальных сетях сообщил, что берет на себя исполнение обязанностей градоначальника (фактически, назначил сам себя), в то время как Городская дума Димитровграда с фактическим самоназначением Кошаева не согласилась и большинством голосов наделила полномочиями и.о. главы города Алексея Гадальшина. Депутат Заксобрания области Матвей Володарский так прокомментировал ситуацию: «Алексей Кошаев, бывший мэр города Димитровграда, быстро «переобулся» и вышел из «Единой России». Такие перебежчики в КПРФ не нужны, насколько я знаю. У Кошаева были разногласия только потому, что он чувствует, что через КПРФ может пробиться. И то, что он сейчас говорит, что его не устраивает новая схема выборов, мне непонятно – как ты, парень, будучи мэром города, принял новую схему управления? Ну, это натуральное лицемерие».
Алексей Кошаев - кандидат в мастера спорта по греко-римской борьбе и самбо.
Награждён медалями общественных организаций «Боевой братство» и «Союз десантников России».
Женат, воспитывает дочь. «С Инной мы вступили в законный брак в июне 1997 года. Я был лейтенантом, командиром батальонного разведывательного взвода 337-го парашютно-десантного полка 104-й дивизии ВДВ. На свадьбу мне дали три дня отпуска. Расписывались в одном из ЗАГСов Ульяновска. На свадьбе был в кителе своего друга Романа Игошина, погибшего потом в Чечне и ставшего Героем России. А свою форму я тогда отдал командиру батальона, поехавшему поступать в академию», - рассказывал Алексей Кошаев в интервью нашему порталу.
В декабре 2016 года Алексей Кошаев направил письменные обращения в городскую и природоохранную прокуратуры, чтобы разобраться в вопросе по вырубке леса на Лесной Горке в Димитровграде.
В январе 2017 года Кошаев поднимает стоимость проезда в общественном транспорте Димитровграда. В феврале того же года выступил с заявлением о поднятии на 150 процентов тарифов на воду.
В июне 2017 года, после отставки сити-менеджера Вячеслава Гнутова, Алексей Кошаев заявил, что готов взять на себя полную ответственность за руководство муниципалитетом и ситуацию в нем.
В мае 2018 года Алексей Кошаев стал фигурантом скандала, после того как якобы побил корреспондента городского портала dimgrad24.ru, принадлежащего правительству Ульяновской области, объяснив это тем, что журналист не встал во время исполнения гимна (административное дело в отношении Кошаева было прекращено 29 июля).
23 октября 2018 года Алексей Кошаев написал заявление об увольнении, а с 24 октября распоряжением Администрации Димитровграда был уволен по собственному желанию и перешел на общественную работу.
С 2019 по 2022 год был Федеральным инспектором по Ярославской области Администрации Президента по Центральному федеральному округу.
В январе 2022 года был в числе претендентов на кресло главы Димитровграда.
В марте 2022 года предложил разорвать отношения с болгарским городом-побратимом Димитровградом.
1 сентября 2022 года трудоустроился помощником вице-губернатора по внутренней политике Александра Коробко. В пул обязанностей Кошаева входила организация взаимодействия между патриотическими структурами, органами местного самоуправления и военкоматами, а также помощь в комплектации добровольческих батальонов, которые отправляются для участия в СВО.
В сентябре 2022 года ему поступило предложение вступить в борьбу за мандат депутата ЗСО. Под свое крыло политика взяла «Единая Россия».
В конце сентября 2022 года принял решение уйти добровольцем в зону СВО. Участник боевых действий в составе 98-й Воздушно-десантной дивизии.
10 сентября 2023 года избран депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области седьмого созыва по Димитровградскому одномандатному избирательному округу № 9 (выдвинут партией «Единая Россия». Набрал 52,20% или 8423 голоса.
Награжден орденом Мужества, медалями общественных организаций «Боевое братство» и «Союз десантников России».
Кандидат в мастера спорта по греко-римской борьбе и самбо. Двоюродный брат известного бойца ММА Владимира Минеева.
Женат, воспитывает дочь.
