Родился 5 июня 1970 года (урожденный Давид Мдивнишвили).
Образование высшее юридическое.
Карьерная лестница Володарского схематично выглядит следующим образом: 1996-1997 гг. - заместитель председателя спортивного клуба Ульяновского государственного университета; 1998-1998 гг. - директор молодежных программ Ульяновского государственного университета; 1998-1999 гг. - заместитель главного редактора газеты «Вестник»; 1999-1999 гг. - директор молодежных программ службы социальных вопросов внешних связей и маркетинга; 1999-2000 гг. - директор по молодежным программам социального развития; 2000-2003 гг. - главный редактор газеты Издательский дом «Известия» Симбирской губернии; 2003-2004 г.г - главный редактор газеты «Симбирские Известия» (печатное издание», основная тема которого – критика областной власти); 2005-2006 гг. - генеральный директор ОГУП «Областная типография «Печатный двор»; в 2007-м - глава администрации муниципального образования «Город Новоульяновск», а с 2008-го уже глава Новоульяноска (на этом посту Володарского в 2012 году сменил Президент РОО «Федерация вольной борьбы Ульяновской области» Геннадий Деникаев).
В 2011 году был в числе кандидатовна должность главы Димитровграда.
В мае 2018 года бывший мэр Новоульяновска Володарский выдвинул свою кандидатуру на пост главы города, о чем сообщил в своей газете «Симбирские известия», сказав, в частности, что «свое возвращение в большую политику объясняет нарастающей стагнацией и деградацией всех сфер жизнедеятельности города».
9 сентября 2018 года избран депутатом Законодательного Собрания Ульяновской области по Засвияжскому одномандатному избирательному округу № 18 от политической партии КПРФ (Коммунистическая Партия Российской Федерации). Обошел опытного соперника от «единороссов» Алсу Садретдинову (за Володарского проголосовали 6966 человек). Вошел в состав комитета по жилищной политике и коммунальному хозяйству. 12 марта 2020 года утвержден заместителем председателя комитета по жилищной политике и коммунальному хозяйству.
26 сентября 2018 года депутат ЗСО Матвей Володарский объявил голодовку (в компании еще двух депутатов ЗСО от КПРФ: Виталия Кузина и Алексея Кузнецова, которых, в итоге, госпитализировали), требуя вернуть на должность уволенную директора школы №72 Людмилу Шишкину. Нашему порталу Володарский так пояснил конечную цель своей акции: «Буду голодать, пока губернатор не прикажет главе города Панчину перестать заниматься кадровым беспределом». Кстати, сама Шишкина спустя неделю после начала голодовки Володарского - 1 октября 2018 года – была назначена заместителем главы администрации Димитровграда.
Был депутатом Законодательного собрания Ульяновской области шестого созыва. В мае 2023 года из-за того, что сын Володарского приобрел одну акцию Bank of New York Mellon Corporation («Банк оф Нью-Йорк Меллон Корпорейшн», США), был лишен депутатского мандата. Попытался вернуть его через суд и сзыскать с ЗСО миллион рублей за моральный ущерб и подорванную деловую репутацию, но безуспешно.
В июле 2023 года вступил в ЛДПР. Баллотировался в депутаты ЗСО седьмого созыва по Железнодорожному округу №15. Занял второе место, набрал 13,55% или 1661 голос.
Женат, сын Иван (появился на свет в день рождения отца – 5 июня).
Из избранных убеждений:
«Оппонентов я не боялся и боятся не буду - никогда! Если у политика нет политических врагов, значит он никто и звать его никак».
