Родился 23 сентября 1970 года в Кемерово.
1977-87 годы - обучение в средней школе N6 Ульяновска.
1987-91 годы - обучение в Ставропольском высшем военном авиационном училище летчиков и штурманов ПВО.
1993-94 годы - обучение на курсах юристов-маркетологов.
В 2003 году окончил Северо-Западный институт управления РАНХиГС в городе Санкт-Петербурге.
До 2003 года занимался коммерческой деятельностью.
Был собственником фирмы по обработке отходов и лома цветных металлов ООО "Кобальт". Судя по всему, это семейный бизнес, поскольку в настоящее время в составе учредителей общества числятся Алла и Сергей Алексич. В разные годы Константин Алексич управлял также "Инвестиционным центром", НП "Электронная торговая площадка", а также ООО "Нейтроник плюс", ООО "Р-Консалт Инвест", ООО "Новые технологии" и другими организациями.
Алексич "засветился" в скандале вокруг стройки на берегу Белолебяжьего озера в Майнском районе. ООО "Инвестиционный центр" арендовало землю в селе Белое Озеро. Арендатор воздвиг на участке забор, при этом огородил им не только свой участок, но и часть прилегающей территории с границами вдоль береговой линии. Доступ к водоему для местных жителей оказался закрыт. Прокуратура области выяснила, что инициатором строительства коттеджного поселка рядом с водоемом являлся Алексич со своим "Инвестиционным центром". Суд постановил демонтировать незаконный забор.
С 2004 по 2005 год работал в администрации Ульяновской области. Прошёл трудовой путь от главного специалиста отдела инвестиционного проектирования до председателя комитета администрации области по лицензированию, активно занимался пропагандой борьбы с хищением металлолома.
В марте 2005 года присвоен классный чин советника государственной гражданской службы РФ 1 класса.
С 2005 по 2014 год работал в НП «Электронная торговая площадка».
С 2014 по 2016 год был директором ООО «Государственные и муниципальные торги».
В январе 2016 года назначен на должность директора ОГКУ «Ульяновскоблстройзаказчик». Алексича считают приближенным к семье строителей Шкановых. На должности директора ОГКУ он контролировал крупные областные стройки и ремонты, в частности, сопровождал губернатора на осмотре ремонтных работ Ленинского мемориала, ДК "УАЗ" и других.
В июле 2019 года Губернатором Ульяновской области награждён Благодарственным письмом.
15 апреля 2020 года назначен и.о. министра строительства и архитектуры Ульяновской области.
В декабре 2021 года после объединения строительного и коммунального ведомств был понижен в должности и стал замминистра: ушел в подчинение к главе министерства ЖКХ Александру Черепану.
По итогам 2020 года оказался самым богатым в правительстве региона, заработав 11,6 млн рублей. Согласно декларации, в долевой собственности у Алексича было 266 земельных участков и 300-метровая квартира, он ездил на Toyota Land Cruiser, владел сельскохозяйственной техникой: трактором "Белорусь", экскаватором ЕК-18 и фронтальным погрузчиком. Жена Алексича заработала за год 1,5 млн рублей, также ей принадлежало восемь участков.
В феврале 2022 года адвокат Александр Паулов заявил, что в громком уголовном деле бывшего замгубернатора Анатолия Озернова "проглядывают уши" министра по строительству Ульяновской области Константина Алексича.
В конце октября 2022 года Алексич уволился из областного правительства по собственному желанию — по его словам, поступило «заманчивое предложение» от бизнеса и он решил покинуть регион.
В ноябре 2022 года должность первого заместителя министра в министерстве ЖКХ и строительства Ульяновской области, которую занимал Константин Алексич, упразднили.
В январе 2023 года Алексич полностью признал свою вину в превышении должностных полномочий. В 2019 году он, пользуясь своей должностью (занимал пост директора «Ульяновскоблстройзаказчика»), сделал так, чтобы аукцион на ремонт здания под размещение ситуационного центра губернатора выиграла компания «Ин-Сервис».
В начале февраля 2023 года уголовное преследование Константина Алексича было прекращено. Свою роль в этом сыграло признание им вины и незапятнанная до сих пор репутация. Алексича обязали заплатить судебный штраф — 30 тысяч рублей.
Женат, воспитывает дочь и сына.
