Родился 23 сентября 1970 года в Кемерово.

1977-87 годы - обучение в средней школе N6 Ульяновска.

1987-91 годы - обучение в Ставропольском высшем военном авиационном училище летчиков и штурманов ПВО.

1993-94 годы - обучение на курсах юристов-маркетологов.

В 2003 году окончил Северо-Западный институт управления РАНХиГС в городе Санкт-Петербурге.

До 2003 года занимался коммерческой деятельностью.

Был собственником фирмы по обработке отходов и лома цветных металлов ООО "Кобальт". Судя по всему, это семейный бизнес, поскольку в настоящее время в составе учредителей общества числятся Алла и Сергей Алексич. В разные годы Константин Алексич управлял также "Инвестиционным центром", НП "Электронная торговая площадка", а также ООО "Нейтроник плюс", ООО "Р-Консалт Инвест", ООО "Новые технологии" и другими организациями.

Алексич "засветился" в скандале вокруг стройки на берегу Белолебяжьего озера в Майнском районе. ООО "Инвестиционный центр" арендовало землю в селе Белое Озеро. Арендатор воздвиг на участке забор, при этом огородил им не только свой участок, но и часть прилегающей территории с границами вдоль береговой линии. Доступ к водоему для местных жителей оказался закрыт. Прокуратура области выяснила, что инициатором строительства коттеджного поселка рядом с водоемом являлся Алексич со своим "Инвестиционным центром". Суд постановил демонтировать незаконный забор.

С 2004 по 2005 год работал в администрации Ульяновской области. Прошёл трудовой путь от главного специалиста отдела инвестиционного проектирования до председателя комитета администрации области по лицензированию, активно занимался пропагандой борьбы с хищением металлолома.

В марте 2005 года присвоен классный чин советника государственной гражданской службы РФ 1 класса.

С 2005 по 2014 год работал в НП «Электронная торговая площадка».

С 2014 по 2016 год был директором ООО «Государственные и муниципальные торги».

В январе 2016 года назначен на должность директора ОГКУ «Ульяновскоблстройзаказчик». Алексича считают приближенным к семье строителей Шкановых. На должности директора ОГКУ он контролировал крупные областные стройки и ремонты, в частности, сопровождал губернатора на осмотре ремонтных работ Ленинского мемориала, ДК "УАЗ" и других.

В июле 2019 года Губернатором Ульяновской области награждён Благодарственным письмом.

15 апреля 2020 года назначен и.о. министра строительства и архитектуры Ульяновской области.

По итогам 2020 года оказался самым богатым в правительстве региона, заработав 11,6 млн рублей. Согласно декларации, в долевой собственности у Алексича было 266 земельных участков и 300-метровая квартира, он ездил на Toyota Land Cruiser, владел сельскохозяйственной техникой: трактором "Белорусь", экскаватором ЕК-18 и фронтальным погрузчиком. Жена Алексича заработала за год 1,5 млн рублей, также ей принадлежало восемь участков.

В феврале 2022 года адвокат Александр Паулов заявил, что в громком уголовном деле бывшего замгубернатора Анатолия Озернова "проглядывают уши" министра по строительству Ульяновской области Константина Алексича.

Женат, воспитывает дочь и сына.