Родился 9 сентября 1962 года в селе Кивать Кузоватовского района Ульяновской области.

Окончил Ульяновский государственный педагогический институт (ныне – университет) имени И.Н. Ульянова по специальности «Физика и математика», а также Ульяновский государственный университет по специальности «Юриспруденция» (заочно).

Трудовую деятельность начал в августе 1984 года в Киватской средней школе в должности учителя физики. С 1985 года работал директором Первомайской восьмилетней школы Кузоватовского района. С 1994 года по 1998 год - директор Кузоватовской неполной средней школы.

Работал инженером предприятия ООО «Нефтесбыт».

В администрации муниципального образования «Кузоватовский район» - с января 2001 года (в должности заместителя главы администрации по социальным вопросам). С января 2003 года - первый заместитель главы района (с курированием вопросов социальной сферы). С июля 2005 года - глава администрации муниципального образования «Кузоватовский район». С апреля 2009 года - первый заместитель главы администрации муниципального образования «Кузоватовский район». Решением районного Совета депутатов 9 декабря 2010 года Александр Вильчик назначен на должность главы администрации Кузоватовского района (пребывает в этой должности по сей день).

В 2012 году Кузоватовский район прогремел инцидентом с похищением человека. Бывший глава района Вячеслав Ковель тогда так прокомментировал ситуацию нашему порталу: «Кузоватовский район никогда не был спокойным. Там постоянно какие-то склоки, интриги. В бытность главой района, я пытался это пресекать, контролировать. Сейчас, видимо, ситуация окончательно вышла из-под контроля. Два вопиющих случая произошло только в последнее время. Это, как вы, наверное, помните, кошмарное похищение людей, одним из депутатов, которое до сих пор не расследовано. И недавнее избиение лесника, которым тоже никто пока не хочет заниматься. Что там еще должно произойти, чтобы на этот район обратили внимание правоохранительные органы?».

В 2015 году Александр Вильчик оказался на второй строчке рейтинга самых богатых глав района Ульяновской области.

Входит в региональный политический совет «Единой России».

В 2025 году попал под прицел силовиков. Предметом разбирательства стал земельный участок площадью 5,5 тыс. квадратов, который в январе 2023 года выкупил у муниципалитета за 5% от кадастровой стоимости сын Вильчика. Проверка районной прокуратуры выявила «факт грубейшего нарушения главой администрации законодательства о противодействии коррупции».

По мнению правоохранителей, чиновник обязан был сообщить о возможном конфликте интересов нанимателю (главе района и председателю совета депутатов Солуянову, — прим. ред.) в день поступления заявления от сына, но сделал это лишь через две недели. Более того, когда Вильчик получил извещение от родственника о намерении продать участок, он не сообщил о возможном конфликте работодателю, хотя должен был.

На заседании в облсуде Солуянов несколько раз повторил, что увольнение своего подчиненного по решению суда, при котором «район расцветает» — «недопустимо и жестоко». Он также заявлял, что изначально не видел в этом деле конфликта интересов — специальная комиссия, по его словам, дважды признала, что нарушения законодательства не было. Новоспасский районный суд снова отказал в требовании прокуратуры уволить главу администрации Кузоватовского района Александра Вильчика по утрате доверия.

Женат, имеет трех сыновей (Андрей, Александр, Артем), есть внуки.