Родился 31 октября 1949 года в селе Партизанское Бузулукского района Оренбургской области.

В 1971 г. окончил курс профессора М.Н. Орловой в ГИТИСе имени А.В. Луначарского, с этого же времени служил в Ульяновском театре драмы имени И.А. Гончарова, на сцене которого сыграл около 100 ролей за почти 40 лет. Вот лишь малая часть особо заметных [ (по отзывам зрителей и оценкам критиков): Призрак в спектакле «Игры с привидением», Дон Хуан в спектакле «Дон Хуан», Ромео в спектакле «Ромео и Джульетта», Яу в спектакле «Шлюк и Яу», маркиз в спектакле «Хозяйка гостиницы», Лыняев в пьесе «Волки и овцы», Клешнин в спектакле «Монархи», Дорн в спектакле «Чайка». Неоднократно Александров становился лауреатом театральных фестивалей России и смотров на лучшую актёрскую работу.

С 1982 года более 25 лет руководил молодёжно-театральной студией «ДРАМ» при Областном доме работников образования, многие выпускники студии стали профессиональными актёрами. С 1997 года Борис Александров преподавал на кафедре актёрского искусства факультета культуры и искусства Ульяновского государственного университета, и выпустил 3 актёрских курса.

Удостоен званий «Заслуженный артист Российской Федерации» (1991 год) и «Народный артист Российской Федерации» (2002 г.). Награжден медалью СССР «За трудовое отличие» (1981 год) и знаком отличия «За заслуги перед Ульяновской областью» (2009 г.). Лауреат Государственной премии Российской Федерации в области литературы и искусства 2001 года (2002 год). Занесен на Доску Почёта «Лучшие люди Ульяновской области» (2005 г.).

Борис Владимирович избирался депутатом Законодательного собрания Ульяновской области четвертого созыва с 2008 года (являлся одним из разработчиков законопроекта «О творческих союзах и творческих работниках Ульяновской области»).

Ушел из жизни 22 января 2010 года в Москве, похоронен на Ишеевском кладбище в Ульяновске.

В память о Борисе Александрове с 31 октября 2010 года (с 2011 – в статусе Российского) ежегодно стартует недельный театральный фестиваль «Александровский сад».